ПЛ3 > 50%
2.5 АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
Как было сказано выше, одной из отличительных особенностей многокритериальных задач по сравнению с однокритериальными является невозможность полностью формализовать процесс решения. Математической формализации поддается лишь первый этап решения задачи - построение множества Парето.
На основе литературных данных для построения множества Парето нами выбран метод, основанный на получении представительной части множества достижимости (множество Dp) и выделении из нее приближенно эффективных точек.
При этом множество достижимости определяется следующим образом [39].
Каждой точке х е X соотношения
P = f (Х), i = 17 (34)
ставят в соответствие некоторую точку P(х1, х2, ..., хп) е D в пространстве критериев.
Соотношения (34) определяют отображение множества X на множество достижимости D , причем
Dp с D .
Приближенно эффективными точками множества D будем называть точки, выбранные из Dp на основе определения (2) эффективных точек. Очевидно, что приближенно эффективные точки совпадают с эффективными точками, если совпадают множества Dp и D.
банки не входящие в бюро кредитных историй
Наилучшее представление о множестве достижимости получается, если значения критериев f (х) вычислять в точках равномерно распределенных последовательностей.
Для построения множества Dp будем использовать так называемые ЛПт-последовательности, обладающие наилучшими характеристиками равномерности среди всех известных в настоящее время равномерно распределенных последовательностей.
Декартовы координаты в единичном n-мерном кубе точки Qi = (qi1, ..., qin) такой последовательности можно вычислить следующим образом.
По заданному номеру i определяется
m = 1+ [ lni / ln2 ] , (35)
а затем для j = 1, 2, ., n
q,=Xl 2-k+1 ^ 1X [2 (i2- }][ {'T-'-'}]} . (36)
k=1 I 2 l=k J
В формулах (35), (36) символами [....] и {....} обозначены соответственно целая и дробная часть числа.
С помощью (35), (36) рассчитываются координаты точки хi = (tiU ..., tin) в n-мерном параллепипеде
банки не входящие в бюро кредитных историй
% =aj + (bj- aj) qn, (37)
где aj , bj - ограничения на j-й варьируемый параметр, т.е. aj < tiJ- < bj .
После получения М точек ЛПт-последовательности их используют для построения множества Dp, из которого по определению (2) выделяются приближенно эффективные точки, являющиеся при М ^ да точками множества Парето.
Для случая двух критериев нами предлагается следующий алгоритм построения множества Парето.
1 Вычисляются по формуле (37) координатыМточек х, ЛПт-последовательности.
банки не входящие в бюро кредитных историй
2 Определяются в точках х, значения критериев Р1 и Р2, которые образуют соответственно масси-
вы Y1, Y2.
3 Одним из известных методов производится сортировка массива Y1 по убыванию значений его членов, при этом необходимо обеспечить, чтобы i-е члены массивов Y1 и Y2 являлись значениями критериев Р1 и Р2 в одной и той же точке.
4 Для s = 1, 2, ..М- 1 и s1 = s + 1, s + 2, ...,Mпроверяется неравенство
Y2s 1 < Y2,
(38)
где Y2s1, Y2s - соответственно 51-й и s-й члены массива Y2.
Если неравенство (38) не выполняется ни для одного значения 51з то s-е члены Y1 и Y2 запоминаются соответственно в массивах Y3, Y4. Последними в массивы Y3, Y4 заносятся М-е члены Y1, Y2.
Нетрудно заметить, что члены массивов Y3, Y4 являются координатами приближенно эффективных точек в пространстве критериев, т.е. удовлетворяют определению (2).
Как показали численные эксперименты, построение множества Парето по описанному алгоритму осуществляется в 1,5 - 2 раза быстрее, чем по определению (2). Выигрыш в скорости достигается за счет использования хорошо разработанных быстродействующих алгоритмов сортировок, причем, он возрастает с увеличением числа М. Кроме этого, применение алгоритма значительно упрощает программную реализацию построения приближенно эффективных точек.
|
